Enunciado

O disco de 12 kg tem uma velocidade angular ω = 20   r a d / s . Se o freio ABC é aplicado de tal que a intensidade da força P varia com o tempo, como mostrado, determine o tempo necessário para parar o disco. O coeficiente de atrito cinético em B é μ k = 0,4 . Despreze a espessura do freio.

Passo 1

Para resolver esse exercício, iremos considerar a aceleração da gravidade g = 9,81   m / s 2 .

Começaremos o exercício notando que há presença de força de atrito cinético em B para poder parar o disco, e ela é dada por:

F a = μ k N B = 0,4 N B

Com isso, é possível aplicar o somatório de momento em torno do ponto A com o auxílio da figura a seguir e obter uma relação entre N B   e P:

N B 0,5 - 0,4 N B 0,4 - P 1 = 0

N B = 2,94 P

Sendo assim, substituindo esse valor na primeira equação obtida no passo 1, é possível encontrar também a força de atrito em função de P:

F a = 0,4 2,94 P → F a = 1,176 P

Passo 2

Agora, antes de aplicaremos o princípio do impulso e do momento angular em torno do ponto O, devemos encontrar o momento de inércia do cilindro, sendo assim:

I O = 1 12 m r 2 = 1 12 12 0,2 2

I O = 0,240   k g . m 2

Com isso, agora podemos aplicar o princípio do impulso e do momento angular em torno do ponto O com o auxílio da imagem a seguir:

↺ +   I O ω 1 + ∑ ∫ t 1 t 2 M O d t = I O ω 2

- 0,240 20 + - 1,176 ∫ 0 t P d t 0,2 = 0

Essa será nossa equação 1. No entanto, sabemos do cálculo, que a integral de uma função estritamento positiva equivale a área sob a curva dessa mesma função, dessa forma, considerando t > 2 s (pois ainda não sabemos o tempo de parada):

∫ 0 t P d t = 1 2 5 2 + 5 ( t - 2 )

∫ 0 t P d t = 5 t - 5

Essa será nossa equação número 2.

Passo 3

Agora podemos substituir o valor da integral encontrado na equação 2 na nossa equação 1, sendo assim:

- 0,240 20 + - 1,176 ∫ 0 t P d t 0,2 = 0

- 0,240 20 + - 1,176 ( 5 t - 5 ) 0,2 = 0

E, resolvendo para t:

t = 5,08   s

Resposta

t = 5,08   s

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